Analysis Beispiele

$x y (\frac{d y}{d x}) = x^{2} + 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ durch $x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ durch $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $\frac{x}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 1}{x}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.3

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$