Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ durch $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ durch $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ als ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ nach $\csc (\frac{y}{x})$ um.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

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Schritt 1.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\csc^{2} (V) + V - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $\csc^{2} (V)$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc^{2} (V)$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ als ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.3

Schreibe $\csc (V)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (V)}$ zu dividieren.

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.5

Mutltipliziere $\sin (V)$ mit $1$ .

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (V)$ als $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Sei $u = 2 V$ . Dann ist $d u = 2 d V$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.7.1

Es sei $u = 2 V$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.7.1.1

Differenziere $2 V$ .

$\frac{d}{d V} [2 V]$

Schritt 6.2.2.7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $2 V$ nach $V$ gleich $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V]$

Schritt 6.2.2.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.2.2.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.10

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.11

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.12

Ersetze alle $u$ durch $2 V$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.13

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.13.1

Kombiniere $\sin (2 V)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $V$ .

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.13.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ .

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Schritt 6.2.2.13.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 V)}{2}$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.13.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $\sin (\frac{2 y}{x})$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$