Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$

Schritt 1

Spalte $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\sec (\frac{y}{x})$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (V) + V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sec (V) + V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + V - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sec (V) + V - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + 0$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $\sec (V)$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sec (V)}$ .

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (V)$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sec (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sec (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1.1

Schreibe $\sec (V)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (V)}$ zu dividieren.

$\int 1 \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.3

Mutltipliziere $\cos (V)$ mit $1$ .

$\int \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $\cos (V)$ nach $V$ ist $\sin (V)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\sin (V) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $V$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$V = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $\arcsin (\ln (| x |) + C) x$ um.

$y = x \arcsin (\ln (| x |) + C)$