Analysis Beispiele

$x^{2} (y + 1) d y - (x + 1) (y d) x = 0$

Schritt 1

Addiere $(x + 1) y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} (y + 1) d y = (x + 1) y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} ((x + 1) y) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $(x + 1) y$ heraus.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $x + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.5

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 4.3.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Schritt 4.3.8

Stelle die Terme um.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$