Analysis Beispiele

$2 x^{2} (y d) x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x^{2} y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

Schritt 1.2

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y$ nach $y$ gleich $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{3} + y^{3}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $9 x^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x^{2} = 9 x^{2}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x^{2} = 9 x^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $9 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $2 x^{2} y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x^{2} y$ .

$\frac{9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 1 \cdot 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{x^{2} (9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} (9 - 2)}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$\frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $2 x^{2} y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{2 y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{7}{2 y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{7}{2 y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{7}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $\frac{7}{2} \ln (| y |)$ , indem du $\frac{7}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{\frac{7}{2}})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{7}{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $2 x^{2} y d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y^{\frac{7}{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x^{2} y$ mit $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} y \cdot y^{\frac{7}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.2

Multipliziere $y$ mit $y^{\frac{7}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} (y^{\frac{7}{2}} y) d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $y^{\frac{7}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 x^{2} (y^{\frac{7}{2}} y^{1}) d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} y^{\frac{7}{2} + 1} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{2} y^{\frac{7}{2} + \frac{2}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{2} y^{\frac{7 + 2}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.2.5

Addiere $7$ und $2$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3 x^{3} + y^{3}$ mit $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) y^{\frac{7}{2}} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3} y^{\frac{7}{2}}) d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $y^{3}$ mit $y^{\frac{7}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3 + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Schritt 6.5.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Schritt 6.5.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Schritt 6.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{3 \cdot 2 + 7}{2}}) d y = 0$

Schritt 6.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{6 + 7}{2}}) d y = 0$

Schritt 6.5.5.2

Addiere $6$ und $7$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 2 x^{2} y^{\frac{9}{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $2 y^{\frac{9}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 y^{\frac{9}{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} \int x^{2} d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $2 y^{\frac{9}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $2 y^{\frac{9}{2}} \frac{1}{3} x^{3} + C$ um.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = y^{\frac{9}{2}} \frac{2}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $y^{\frac{9}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{9}{2}} \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.3.2.5

Kombiniere $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + C$

Schritt 8.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.3

Da $\frac{2 x^{3}}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3}$ nach $y$ gleich $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.8.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.9

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \cdot \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $\frac{2 x^{3}}{3}$ mit $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{3} (9 y^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.11

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.13

Faktorisiere $6$ aus $18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ heraus.

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.14.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.3.14.4

Dividiere $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ durch $1$ .

$3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{\frac{7}{2}} x^{3} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + 3 y^{\frac{7}{2}} x^{3}$ um.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} - 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} - y^{\frac{13}{2}}$ .

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ von $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 - y^{\frac{13}{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Addiere $\frac{d g}{d y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{13}{2}} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $y^{\frac{13}{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{2}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $y^{\frac{13}{2}}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{13}{2}} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{\frac{13}{2}} d y$

Schritt 13.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{13}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}}$ .

$g (y) = \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{2}{15}$ und $y^{\frac{15}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{2 x^{3} y^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$