Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Addiere $y \sqrt{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.1.2.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.3.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 2.3.1.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ als $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ als $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$