Analysis Beispiele

$y d x = (y e^{y} - 2 x) d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(y e^{y} - 2 x) d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (y e^{y} - 2 x)$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y e^{y} - 2 x)]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (y e^{y} - 2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y e^{y} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.4

Da $y e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 3.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 2$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Schritt 5.3.2

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Schritt 6.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | y | + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y \cdot y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- (y e^{y} - 2 x)$ mit $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) y d y = 0$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} d x + (- (y e^{y}) - (- 2 x)) y d y = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y^{2} d x + (- y e^{y} + 2 x) y d y = 0$

Schritt 7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} d x + (- y e^{y} y + 2 x y) d y = 0$

Schritt 7.7

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.7.1

Bewege $y$ .

$y^{2} d x + (- (y \cdot y) e^{y} + 2 x y) d y = 0$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} d x + (- y^{2} e^{y} + 2 x y) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Schritt 12.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$2 x y + \frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$

Schritt 13.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$ .

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Schritt 13.1.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 0$

Schritt 13.1.2.2

Addiere $- y^{2} e^{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- y^{2} e^{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} e^{y} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} e^{y} d y$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y^{2} e^{y} d y$

Schritt 14.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y^{2}$ und $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - \int e^{y} (2 y) d y)$

Schritt 14.5

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - (2 \int e^{y} (y) d y))$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 \int e^{y} (y) d y)$

Schritt 14.7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y))$

Schritt 14.8

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$

Schritt 14.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.9.1

Schreibe $- (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$ als $- (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$ um.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$

Schritt 14.9.2

Vereinfache.

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Schritt 14.9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g (y) = - (y^{2} e^{y}) - (- 2 y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

Schritt 14.9.2.2

Vereinfache.

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Schritt 14.9.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

Schritt 14.9.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - 2 e^{y} + C$

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{2} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$