Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - x^{2}$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$ ersetzt wird.

$1 = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 1$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + K = 1$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + K = 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$0 + K = 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 1$

Schritt 5

Setze $1$ für $K$ in $y = - \frac{1}{3} x^{3} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $1$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 1$

Schritt 5.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{3} + 1$