Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{5 + 3 y}$ .

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 3 y} \cdot \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 + 3 y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 + 3 y} \cdot \frac{5 + 3 y}{x - 1}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{5 + 3 y} d y = \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{5 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 5 + 3 y$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 5 + 3 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $5 + 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + 3 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 3 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 + 3$

Schritt 2.2.1.1.4

Addiere $0$ und $3$ .

$3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 + 3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) + C_{1} = \ln (| x - 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |) = \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |)) = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \ln (| 5 + 3 y |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| 5 + 3 y |)$ .

$3 \frac{\ln (| 5 + 3 y |)}{3} = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\ln (| 5 + 3 y |)}{3} = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 5 + 3 y |) = 3 (\ln (| x - 1 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 5 + 3 y |) = 3 \ln (| x - 1 |) + 3 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 5 + 3 y |) - 3 \ln (| x - 1 |) = 3 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| 5 + 3 y |) - 3 \ln (| x - 1 |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $- 3 \ln (| x - 1 |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 5 + 3 y |) - \ln ({| x - 1 |}^{3}) = 3 C$

Schritt 3.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}) = 3 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}})} = e^{3 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}) = 3 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} = e^{3 C}$ um.

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} = e^{3 C}$

Schritt 3.7.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x - 1 |}^{3}$ .

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} {| x - 1 |}^{3} = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x - 1 |}^{3}$ .

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Schritt 3.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 5 + 3 y |}{{| x - 1 |}^{3}} {| x - 1 |}^{3} = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

Schritt 3.7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 5 + 3 y | = e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

Schritt 3.7.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$ um.

$| 5 + 3 y | = {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$

Schritt 3.7.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$5 + 3 y = \pm {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$

Schritt 3.7.4.3

Stelle die Faktoren in $\pm {| x - 1 |}^{3} e^{3 C}$ um.

$5 + 3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}$

Schritt 3.7.4.4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$

Schritt 3.7.4.5

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 3.7.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.7.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 3.7.4.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 3.7.4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.4.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3}}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 3.7.4.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{3 C} {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm C {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C {| x - 1 |}^{3} - 5}{3}$