Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x e^{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x e^{x^{3}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x e^{x^{3}}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x e^{x^{3}}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x e^{x^{3}}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x e^{x^{3}}}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $e^{x^{3}}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = e^{x^{3}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = e^{x^{3}}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = e^{x^{3}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Schritt 7.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 7.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 7.1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 7.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Schritt 7.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ um.

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 7.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ um.

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$x^{2} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 7.2

Wende die Konstantenregel an.

$x^{2} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x^{3}}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{x^{3}}$ .

$y = \frac{\frac{e^{x^{3}}}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{e^{x^{3}}}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.3

Kombinieren.

$y = \frac{e^{x^{3}} \cdot 1}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $e^{x^{3}}$ mit $1$ .

$y = \frac{e^{x^{3}}}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$