Analysis Beispiele

$3 \frac{d y}{d θ} + \sin (θ) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d θ}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $\sin (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \frac{d y}{d θ} = - \sin (θ)$ durch $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d θ}}{3} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{d y}{d θ}}{3} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d θ}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d θ} = \frac{- \sin (θ)}{3}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d θ} = - \frac{\sin (θ)}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sin (θ)}{3} d θ$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \sin (θ) d θ)$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $- \cos (θ)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \cos (θ) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \cos (θ)) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \cos (θ) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cos (θ) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos (θ)$ .

$y + C_{1} = \frac{\cos (θ)}{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cos (θ) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} \cos (θ) + K$