Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\tan^{2} (y)$ .

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan^{2} (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\tan^{2} (y) d y = \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \tan^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $\tan^{2} (y)$ in $- 1 + \sec^{2} (y)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int - 1 + \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d y + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- y + C_{1} + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.4

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$- y + C_{1} + \tan (y) + C_{2} = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- y + \tan (y) + C_{3} = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2.3

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$- y + \tan (y) + C_{3} = \tan (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- y + \tan (y) = \tan (x) + K$