Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 4 y - e^{- x} = 0$ , $y (0) = \frac{4}{3}$

Schritt 1

Addiere $e^{- x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = e^{- x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 4$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 4 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{4 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{4 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{4 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} e^{- x}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} e^{- x}$

Schritt 3.3

Multipliziere $e^{4 x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x - x}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$ um.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = e^{3 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = e^{3 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int e^{3 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{4 x} y = \int e^{3 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 7.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 7.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{4 x} y = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 7.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{u} + C$

Schritt 7.6

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ durch $e^{4 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ durch $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{3 x}$ und $e^{4 x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{4 x}$ aus $\frac{1}{3} e^{3 x}$ heraus.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{3} e^{- x}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $\frac{4}{3}$ für $y$ in $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ ersetzt wird.

$\frac{4}{3} = \frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$ um.

$\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{4}{3}$

Schritt 10.2.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{1} = \frac{4}{3}$

Schritt 10.2.3

Dividiere $C$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} + C = \frac{4}{3}$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 10.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{4 - 1}{3}$

Schritt 10.3.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$C = \frac{3}{3}$

Schritt 10.3.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$C = 1$

Schritt 11

Setze $1$ für $C$ in $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{1}{e^{4 x}}$