Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d θ} = - π \sin (π θ)$ , $r (2) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d r = - π \sin (π θ) d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d r = \int - π \sin (π θ) d θ$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} = \int - π \sin (π θ) d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- π$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- π$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = - π \int \sin (π θ) d θ$

Schritt 2.3.2

Sei $u = π θ$ . Dann ist $d u = π d θ$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = π θ$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $π θ$ nach $θ$ gleich $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$r + C_{1} = - π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = - π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = - π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $π$ .

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$r + C_{1} = - 1 \cdot 1 \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r + C_{1} = - \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$r + C_{1} = - (- \cos (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$r + C_{1} = - - \cos (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r + C_{1} = 1 \cos (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$r + C_{1} = \cos (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $π θ$ .

$r + C_{1} = \cos (π θ) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$r = \cos (π θ) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $2$ für $θ$ und $3$ für $r$ in $r = \cos (π θ) + K$ ersetzt wird.

$3 = \cos (π \cdot 2) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (π \cdot 2) + K = 3$ um.

$\cos (π \cdot 2) + K = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\cos (2 \cdot π) + K = 3$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (0) + K = 3$

Schritt 4.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1 + K = 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 3 - 1$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$K = 2$

Schritt 5

Setze $2$ für $K$ in $r = \cos (π θ) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $2$ .

$r = \cos (π θ) + 2$