Analysis Beispiele

$y (1 + \cos (x y)) d x + x (1 + \cos (x y)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y (1 + \cos (x y))$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + \cos (x y))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (x y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.5

Differenziere.

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Schritt 1.5.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

Schritt 1.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.5.1

Mutltipliziere $1 + \cos (x y)$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + 1 + \cos (x y)$

Schritt 1.5.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 + \cos (x y))]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (x y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.5.1

Mutltipliziere $1 + \cos (x y)$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + 1 + \cos (x y)$

Schritt 2.5.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (1 + \cos (x y)) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x \int 1 + \cos (x y) d y$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = x (\int d y + \int \cos (x y) d y)$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (x y) d y)$

Schritt 5.4

Sei $u = x y$ . Dann ist $d u = x d y$ , folglich $\frac{1}{x} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.4.1

Es sei $u = x y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Differenziere $x y$ .

$\frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 5.4.1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 5.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x$

Schritt 5.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{x} d u)$

Schritt 5.5

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \frac{\cos (u)}{x} d u)$

Schritt 5.6

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} \int \cos (u) d u)$

Schritt 5.7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} (\sin (u) + C))$

Schritt 5.8

Vereinfache.

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (u)}{x}) + C$

Schritt 5.9

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})]$ .

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Schritt 8.3.1

$x \frac{d}{d x} [y + \frac{\sin (x y)}{x}] + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x y)$ und $g (x) = x$ .

$x (0 + \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 8.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.5.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.6

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.10

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.12

Addiere $0$ und $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$x \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.13

Kombiniere $x$ und $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.14.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.15

Mutltipliziere $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ mit $1$ .

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + y + \frac{\sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) + \sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.17

Addiere $- \sin (x y)$ und $\sin (x y)$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y) + 0}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.18

Addiere $x (\cos (x y) y)$ und $0$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.19.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.3.19.2

Dividiere $\cos (x y) y$ durch $1$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y + \cos (x y) y + \frac{d g}{d x} = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1.1.1

Vereinfache $y (1 + \cos (x y))$ .

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Schritt 9.1.1.1.1

Forme um.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = 0 + 0 + y (1 + \cos (x y))$

Schritt 9.1.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

Schritt 9.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y \cdot 1 + y \cos (x y)$

Schritt 9.1.1.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y + y \cos (x y)$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y \cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y = y + y \cos (x y) - y \cos (x y)$

Schritt 9.1.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$

Schritt 9.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$ .

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Schritt 9.1.2.3.1

Subtrahiere $y \cos (x y)$ von $y \cos (x y)$ .

$\frac{d g}{d x} = y + 0 - y$

Schritt 9.1.2.3.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - y$

Schritt 9.1.2.3.3

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

Schritt 12.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = x y + \sin (x y) + C$