Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 6}{2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{y^{2} + 6}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 6} \cdot \frac{y^{2} + 6}{2 y}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{y}{y^{2} + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 6} \cdot \frac{y^{2} + 6}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2} + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 6} \cdot \frac{y^{2} + 6}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2} + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 6} \cdot \frac{y^{2} + 6}{2}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 6$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2} + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 6} \cdot \frac{y^{2} + 6}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2} + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{y^{2} + 6} d y = \frac{1}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y^{2} + 6} d y = \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y^{2} + 6$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y^{2} + 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 6]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 6$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $y^{2} + 6$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 6 |) + C_{1} = \int \frac{1}{2} d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 6 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 6 |) = \frac{1}{2} x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 6 |)) = 2 (\frac{1}{2} x + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 6 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| y^{2} + 6 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 6 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 6 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} + 6 |) = 2 (\frac{1}{2} x + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} x + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\ln (| y^{2} + 6 |) = 2 (\frac{x}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} + 6 |) = 2 \frac{x}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y^{2} + 6 |) = 2 \frac{x}{2} + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{2} + 6 |) = x + 2 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{2} + 6 |)} = e^{x + 2 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| y^{2} + 6 |) = x + 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2 C} = | y^{2} + 6 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{2} + 6 | = e^{x + 2 C}$ um.

$| y^{2} + 6 | = e^{x + 2 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 6 = \pm e^{x + 2 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm e^{x + 2 C} - 6$

Schritt 3.5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x + 2 C} - 6}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x + C} - 6}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x} e^{C} - 6}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x} - 6}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C e^{x} - 6}$