Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 (1 + y^{2}) x$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (2 (1 + y^{2}) x)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $(1 + y^{2}) x$ heraus.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (x))$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\arctan (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = x^{2} + K$

Schritt 3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (x^{2} + K)$