Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (y - 3)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y - 3}{y}$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} (\frac{y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{y - 3}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) x}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y - 3$ aus $(y - 3) x$ heraus.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) (x)}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{y} \cdot \frac{y}{(y - 3) x}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y - 3}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{y}{y} + \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\int d y + \int \frac{- 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int d y + \int - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

$y - 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y - 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y - 3 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$