Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{2} + 2 x y}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x^{2}} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.6

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + 3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7

Multipliziere $3 y^{2} \frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + y^{2} \frac{3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{(x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.10.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1.10.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Schritt 1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Schritt 1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + 2 y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.11

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + y \frac{2}{x}}$

Schritt 1.12

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Schritt 1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.13.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 \cdot y}{x} + \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Schritt 1.13.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Schritt 1.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.15

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{2 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.15.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.15.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $2$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.16

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ aus.

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Schritt 1.16.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{3 y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.16.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{3 y}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.17

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{3 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.17.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{3 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 3 \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.17.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $3$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{2 y}{x}}$

Schritt 1.18

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{2 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.18.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Schritt 1.18.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $2$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x} + 3 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}}{1 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $V$ aus $2 \cdot V + 3 \cdot V \cdot V$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $V$ aus $2 \cdot V$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + 3 \cdot V \cdot V}{1 + 2 \cdot V}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $V$ aus $3 \cdot V \cdot V$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot 2 + V (3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot 2 + V (3 V)$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 \cdot V}$

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} - V \cdot \frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{1 + 2 V}{1 + 2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V)}{1 + 2 V} + \frac{- V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1

Faktorisiere $V$ aus $V (2 + 3 V) - V (1 + 2 V)$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1.1

Faktorisiere $V$ aus $- V (1 + 2 V)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.1.2

Faktorisiere $V$ aus $V (2 + 3 V) + V (- (1 + 2 V))$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - (1 + 2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 \cdot 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - (2 V))}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 + 3 V - 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (3 V + 1 - 2 V)}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.6

Subtrahiere $2 V$ von $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.6

Mutltipliziere $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Schritt 6.1.1.3.3.7

Stelle die Faktoren in $\frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{x (1 + 2 V)}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} (\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{V (V + 1)}{1 + 2 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 2 V$ .

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $1 + 2 V$ aus $(1 + 2 V) x$ heraus.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) (x)}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{(1 + 2 V) x}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V (V + 1)$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 + 2 V}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 6.2.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $V (V + 1)$ .

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + 2 V) (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + 2 V) (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2

Dividiere $1 + 2 V$ durch $1$ .

$1 + 2 V = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Stelle $1$ und $2 V$ um.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 V + 1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.1.2

Dividiere $A (V + 1)$ durch $1$ .

$2 V + 1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 V + 1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 V + 1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.4.2

Dividiere $(B) (V)$ durch $1$ .

$2 V + 1 = A V + A + (B) (V)$

$2 V + 1 = A V + A + B V$

Schritt 6.2.2.1.1.7

Bewege $A$ .

$2 V + 1 = A V + B V + A$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $V$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + B$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $V$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = A + B$

$1 = A$

$2 = A + B$

$1 = A$

Schritt 6.2.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$2 = A + B$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $2 = A + B$ durch $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.3

Löse in $2 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 2$ um.

$1 + B = 2$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = 1 A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = 1, A = 1$

Schritt 6.2.2.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.5

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$\int \frac{1}{V} + \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{V} d V + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{V}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Sei $u = V + 1$ . Dann ist $d u = d V$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.4.1

Es sei $u = V + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.4.1.1

Differenziere $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V + 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| V |) + C_{1} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.6.1

Vereinfache.

$\ln (| V |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.6.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | | u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2.2

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| V u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $V + 1$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V (V + 1) |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| V (V + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $\ln (| \frac{y}{x} (\frac{y}{x} + 1) |) = \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 8.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{y}{x} \cdot (\frac{y}{x} + 1) |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{y}{x} + 1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + 1)}{x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{| \frac{y (\frac{y + x}{x})}{x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $y$ und $\frac{y + x}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\frac{y (y + x)}{x}}{x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.5

Multipliziere $\frac{y (y + x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 8.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{y (y + x)}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x \cdot x} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{1 + 1}} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{y (y + x)}{x^{2}} |}{| x |}) = C$

Schritt 8.3.6

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\ln (\frac{\frac{| y (y + x) |}{x^{2}}}{| x |}) = C$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2}} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Schritt 8.5

Kombinieren.

$\ln (\frac{| y (y + x) | \cdot 1}{x^{2} | x |}) = C$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $| y (y + x) |$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| y (y + x) |}{x^{2} | x |}) = C$