Analysis Beispiele

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y + x^{2} y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y - 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $x^{2} + 4$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x^{2} + 4 = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x^{2} + 4$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $4 y + x^{2} y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $4 y + x^{2} y$ .

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $- (- x^{2} - 4)$ von $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $4 y + x^{2} y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 4 + y x^{2}$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x^{2} - 4$ und $4 + x^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (x^{2} + 4)$ als $- 1 (x^{2} + 4)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

Schritt 4.3.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Schritt 4.3.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

Schritt 4.3.4.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $4 y + x^{2} y$ .

$- \frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $4 y + x^{2} y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $4 y + x^{2} y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y$ aus $4 y + x^{2} y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 4 + y x^{2}$ heraus.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Dividiere $4 + x^{2}$ durch $1$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $y - 1$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $y - 1$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 4 + x^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

Schritt 8.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 8.4

Vereinfache.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 11.3

Da $4 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 11.4

Da $\frac{1}{3} x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 11.6

Vereine die Terme

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Schritt 11.6.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 11.6.2

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{y - 1}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

Schritt 12.3

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

Schritt 12.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 12.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Schritt 12.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

Schritt 12.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Schritt 12.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Schritt 12.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 12.8

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

Schritt 12.9

Vereinfache.

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

Schritt 13

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$