Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = {(\frac{e^{t}}{y})}^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{e^{t}}{y}$ an.

$\frac{d y}{d t} = \frac{{(e^{t})}^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{t})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{e^{t \cdot 2}}{y^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = y^{2} \frac{e^{2 t}}{y^{2}}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d t} = e^{2 t}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = e^{2 t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int e^{2 t} d t$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{2 t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{2 t} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{2} e^{2 t} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 t}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 e^{2 t}}{2} + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 e^{2 t}}{2}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{e^{2 t}}{2} + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{2 t}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t} + K \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{2 t} + 2 K}{2}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $3$ und $\frac{e^{2 t} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{2 t} + 2 K)}{2}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{2 t} + 2 K)}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 3.4.8.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.8.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.9.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 3.4.9.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 3.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.10.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{2 t} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Schritt 3.4.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{2 t} + 2 K)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{2 t} + K)}}{2}$