Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 4 y}{x + 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y - 4 y$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 4 y}{x + 2}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 4}{x + 2}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y \cdot - 4$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 4)}{x + 2}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 2^{2})}{x + 2}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 2) (x - 2))}{x + 2}$

Schritt 1.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2})$

Schritt 1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2})$

Schritt 1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

Schritt 1.4.2.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (x - 2) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x - 2 d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ um.

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ als $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$