Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x - 1}{y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = (2 x - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{2} - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{2} - x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (x^{2} - x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (x^{2} - x + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 x^{2} + 3 (- x) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = 3 x^{2} - 3 x + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} - 3 x + 3 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 3 x + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) - 3 x + 3 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x) + 3 K}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - x) + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} - x + K)}$