Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $3 y - y^{2}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{3 y - y^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y - y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 - y^{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y \cdot 3 + y (- y)}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 3 + y (- y)$ heraus.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (3 y - y^{2}) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 y \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = y \cdot 3 \frac{\cos (x)}{y (3 - y)} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y^{2} \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Schritt 1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} + y (- y) \frac{\cos (x)}{y (3 - y)}$

Schritt 1.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - y \frac{\cos (x)}{3 - y}$

Schritt 1.2.6

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{3 - y}$ und $y$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x)}{3 - y} - \frac{\cos (x) y}{3 - y}$

Schritt 1.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cos (x) - \cos (x) y}{3 - y}$

Schritt 1.2.8

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $3 \cos (x) - \cos (x) y$ heraus.

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Schritt 1.2.8.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $3 \cos (x)$ heraus.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 - \cos (x) y}{3 - y}$

Schritt 1.2.8.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x) y$ heraus.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)}{3 - y}$

Schritt 1.2.8.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot 3 + \cos (x) (- y)$ heraus.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Schritt 1.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - y$ .

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Schritt 1.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) (3 - y)}{3 - y}$

Schritt 1.2.9.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$(3 y - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(3 y - y^{2}) d y = \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 3 y - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int y d y + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int y^{2} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache.

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{3}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} = \sin (x) + K$