Analysis Beispiele

$x \cdot y + x + \frac{d y}{d x} \cdot y + \frac{d y}{d x} \cdot y \cdot x = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x} y$ mit $x$ .

$x y + x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + \frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} y$ aus $\frac{d y}{d x} y + \frac{d y}{d x} y x$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} y$ aus $\frac{d y}{d x} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} y$ aus $\frac{d y}{d x} y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x = - x y - x$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x} y$ aus $\frac{d y}{d x} y \cdot 1 + \frac{d y}{d x} y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ durch $y (1 + x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} y (1 + x) = - x y - x$ durch $y (1 + x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} y (1 + x)}{y (1 + x)} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 1.1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{y (1 + x)} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} + \frac{- x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.2

Um $- \frac{x}{1 + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + x) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{1 + x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(1 + x) y} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(1 + x) y$ um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{y (1 + x)} - \frac{x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y - x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.5

Faktorisiere $x$ aus $- x y - x$ heraus.

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Schritt 1.1.4.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) - x}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y) + x \cdot - 1}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- y) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- y - 1)}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1)}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y) - 1 (1))}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- (y + 1))}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.9.1

Schreibe $- (y + 1)$ als $- 1 (y + 1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 1 (y + 1))}{y (1 + x)}$

Schritt 1.1.4.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (- \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{1 + x} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{x}{1 + x}$ mit $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{y + 1}$ in den Zähler.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Schritt 1.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(1 + x) y}$

Schritt 1.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x) y$ heraus.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Schritt 1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (1 + x)}$

Schritt 1.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{1 + x}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $y + 1$ aus $x (y + 1)$ heraus.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Schritt 1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{1 + x}$

Schritt 1.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{1 + x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{y + 1} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividiere $y$ durch $y + 1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Schritt 2.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Schritt 2.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 2.2.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.2.5

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Schritt 2.3.2

Stelle $1$ und $x$ um.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.3

Dividiere $x$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 2.3.3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 2.3.3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Schritt 2.3.3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Schritt 2.3.3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 2.3.3.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 2.3.7

Sei $u_{2} = x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.7.1

Es sei $u_{2} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.7.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.3.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Schritt 2.3.11.2

Multipliziere $- - \ln (| x + 1 |)$ .

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Schritt 2.3.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Schritt 2.3.11.2.2

Mutltipliziere $\ln (| x + 1 |)$ mit $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y - \ln (| y + 1 |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$