Analysis Beispiele

$(3 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$(3 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 3 y^{2} + 2 d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{3} + 2 y = x + K$