Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{2 y + 6}$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} (\frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 y + 6}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $e^{2 y + 6}$ aus ${(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}$ heraus.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$e^{2 y + 6} d y = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{2 y + 6} d y = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 2 y + 6$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 2 y + 6$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y + 6$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 6]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 6$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [6]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y + 6$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $15$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = 3 x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = 3 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $15$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{15}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.1.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ als $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x + 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{3 x + 1} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} = - \frac{5}{3 x + 1} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6}) = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 y + 6}$ .

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ .

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + \frac{K (3 x + 1)}{3 x + 1})$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x + 1)}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x) + K \cdot 1}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K \cdot 1}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $K$ mit $1$ .

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$ .

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 5 + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $3 K x$ heraus.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) - (- 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- 3 K x)$ heraus.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K))}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K)$ heraus.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x - K))}{3 x + 1}$

Schritt 3.2.2.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{2 y + 6} = - \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y + 6}) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{2 y + 6})$ durch Herausziehen von $2 y + 6$ aus dem Logarithmus.

$(2 y + 6) \ln (e) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(2 y + 6) \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2 y + 6$ mit $1$ .

$2 y + 6 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

Schritt 3.5

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Dividiere $- 6$ durch $2$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} - 3$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 + K x + K)}{3 x + 1})}{2} - 3$