Analysis Beispiele

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ durch $x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ durch $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $- \frac{x}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

Schritt 1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe $x \cdot x$ als $x^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

Schritt 1.2.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Stelle $x$ und $1$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

Schritt 2.3.4.2

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Schritt 2.3.4.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

Schritt 2.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

Schritt 2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

Schritt 2.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.3.10

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.11.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.3.11.2

Stelle $1$ und $- x^{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.3.12

Dividiere $- x^{2} + 1$ durch $x$ .

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Schritt 2.3.12.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 2.3.12.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Schritt 2.3.12.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Schritt 2.3.12.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Schritt 2.3.12.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 2.3.12.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Schritt 2.3.12.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.13

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.16

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.17

Vereinfache.

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Schritt 2.3.17.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.17.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 3.3

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$