Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 3$ $y (1) = 2$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x + 3) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x + 3 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x + 3 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{2} + 3 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{2} + 3 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = x^{2} + 3 x + K$ ersetzt wird.

$2 = 1^{2} + 3 \cdot 1 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $1^{2} + 3 \cdot 1 + K = 2$ um.

$1^{2} + 3 \cdot 1 + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache $1^{2} + 3 \cdot 1 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1 + K = 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 + K = 2$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$4 + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 - 4$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$K = - 2$

Schritt 5

Setze $- 2$ für $K$ in $y = x^{2} + 3 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 2$ .

$y = x^{2} + 3 x - 2$