Analysis Beispiele

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y = 1 + x$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(1 + x) y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + x$ und $g (x) = y$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(1 + x) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + x) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + x) y' + y (0 + 1)$

Schritt 1.6

Addiere $0$ und $1$ .

$(1 + x) y' + y \cdot 1$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(1 + x) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.8

Stelle $1$ und $x$ um.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.9

Stelle $y$ und $1$ um.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(1 + x) y] = 1 + x$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x) y] d x = \int 1 + x d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(1 + x) y = \int 1 + x d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(1 + x) y = \int d x + \int x d x$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$(1 + x) y = x + C + \int x d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x) y = x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $1 + x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + x) y = x + \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + x) y}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{1 + x}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.2

Um $\frac{x}{1 + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + x) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{1 + x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(1 + x) \cdot 2$ um.

$y = \frac{x \cdot 2}{2 (1 + x)} + \frac{x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x \cdot 2 + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{x (2) + x^{2}}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x (2) + x \cdot x}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2) + x \cdot x$ heraus.

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x}$

Schritt 6.3.6

Um $\frac{C}{1 + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C}{1 + x} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (1 + x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{C}{1 + x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x) \cdot 2}$

Schritt 6.3.7.2

Stelle die Faktoren von $(1 + x) \cdot 2$ um.

$y = \frac{x (2 + x)}{2 (1 + x)} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Schritt 6.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x (2 + x) + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Schritt 6.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x \cdot 2 + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Schritt 6.3.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{2 \cdot x + x \cdot x + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Schritt 6.3.9.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{2 \cdot x + x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x)}$

Schritt 6.3.9.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{2 x + x^{2} + 2 C}{2 (1 + x)}$