Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 1.2.3.2

Bewege $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Schritt 1.2.3.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Schritt 1.2.3.4

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Schritt 1.2.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.7

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.2.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}}$

Schritt 1.2.3.7.5

Vereinfache.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.3.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.2.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = x^{\frac{1}{2}} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ um.

$| y | = e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x^{\frac{1}{2}} + C}$ als $e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{x^{\frac{1}{2}}}$