Analysis Beispiele

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

Schritt 1

Addiere $(1 + e^{y}) d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + e^{y}}$ und $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{y}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u = 1 + e^{y}$ . Dann ist $d u = e^{y} d y$ , folglich $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u = 1 + e^{y}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Schritt 4.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Schritt 4.2.1.1.4

Addiere $0$ und $e^{y}$ .

$e^{y}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 4.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$