Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $3 + y^{3}$ .

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = (3 + y^{3}) \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + y^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = (3 + y^{3}) \frac{x^{3}}{3 + y^{3}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(3 + y^{3}) \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(3 + y^{3}) d y = x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 3 + y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 d y + \int y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$3 y + C_{1} + \int y^{3} d y = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$3 y + C_{1} + \frac{1}{4} y^{4} + C_{2} = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$3 y + \frac{1}{4} y^{4} + C_{3} = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y + C_{3} = \int x^{3} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y + C_{3} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 y = \frac{1}{4} x^{4} + K$