Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 y + 1$ .

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = (2 y + 1) \frac{1}{2 y + 1}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 y + 1) \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(2 y + 1) d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y + 1 d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 y d y + \int d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y + \int d y = \int d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$y^{2} + y + C_{3} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$y^{2} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} + y = x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + y - x = K$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + y - x - K = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - x - K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x - K))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x - K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 K + 4 x + 1}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{K + 4 x + 1}}{2}$