Analysis Beispiele

$y^{2} d y = x^{5} d x$

Schritt 1

Integriere beide Seiten.

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Schritt 1.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int x^{5} d x$

Schritt 1.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{5} d x$

Schritt 1.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

Schritt 1.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{6} x^{6} + K$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

Schritt 2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{6} x^{6} + K)$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{6}}{6} + K)$

Schritt 2.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{6} + 3 K$

Schritt 2.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{3 (2)} + 3 K$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 3 \frac{x^{6}}{3 \cdot 2} + 3 K$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{x^{6}}{2} + 3 K$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K}$ .

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Schritt 2.4.1

Um $3 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + 3 K \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $3 K$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6}}{2} + \frac{3 K \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 3 K \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 K}{2}}$

Schritt 2.4.5

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 K}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.4.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 2.4.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.4.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.4.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.4.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.4.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 2.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.4.8.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 K} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 2.4.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 K) \cdot 4}}{2}$

Schritt 2.4.9.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 K) \cdot 4}}{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{6} + 6 K)}}{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x^{6} + K)}}{2}$