Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + y = \sqrt{x}$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = \sqrt{x}$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x y = \int \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Bringe $x^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.1

Bewege $x^{- 1}$ .

$y = \frac{2}{3} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 + 3}{2}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C}{x}$