Analysis Beispiele

$(x \sin (x) + 1) d y + (y \sin (x) + x y \cos (x)) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(y \sin (x) + x y \cos (x)) d x + (x \sin (x) + 1) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y \sin (x) + x y \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x) + x y \cos (x)]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y \sin (x) + x y \cos (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \sin (x)] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\sin (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y \sin (x)$ nach $y$ gleich $\sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + \frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [x y \cos (x)]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $x \cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y \cos (x)$ nach $y$ gleich $x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x) \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) + x \cos (x)$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sin (x) + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x) + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $x \cos (x) + \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $x \cos (x) + \sin (x)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $x \cos (x) + \sin (x)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$x \cos (x) + \sin (x) = x \cos (x) + \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) + 1 d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = x \sin (x) + 1$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y + g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(x \sin (x) + 1) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(x \sin (x) + 1) y]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(x \sin (x) + 1) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x) + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sin (x) + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.3.8

Addiere $x \cos (x) + \sin (x)$ und $0$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.5

Vereinfache.

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Schritt 9.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 9.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x)$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Subtrahiere $x y \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x)$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $y \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Schritt 10.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

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Schritt 10.1.3.1

Subtrahiere $x y \cos (x)$ von $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Schritt 10.1.3.2

Addiere $y \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - y \sin (x)$

Schritt 10.1.3.3

Subtrahiere $y \sin (x)$ von $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 11.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 11.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$

Schritt 13

Vereinfache $f (x, y) = (x \sin (x) + 1) y + C$ .

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 y + C$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$

Schritt 13.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x \sin (x) y + y + C$ um.

$f (x, y) = x y \sin (x) + y + C$