Analysis Beispiele

$(y^{2} + 1) d x = (1 + x y) d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $(1 + x y) d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Schritt 2.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (1 + x y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x y)]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (1 + x y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [1 + x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x y]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.6

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = - y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = - y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- y$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{- y - (2 y)}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $y^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $y^{2} + 1$ .

$\frac{- y - (2 y)}{y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y - 1 \cdot 2 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y \cdot - 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 1 \cdot 2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 1 + y (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{y (- 1 - 1 \cdot 2)}{y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y (- 1 - 2)}{y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{y \cdot - 3}{y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{- 3 \cdot y}{y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.4

Ersetze $M$ durch $y^{2} + 1$ .

$- \frac{3 y}{y^{2} + 1}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 y}{y^{2} + 1} d y}$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{y}{y^{2} + 1} d y}$

Schritt 6.4

Sei $u = y^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Es sei $u = y^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1

Differenziere $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Schritt 6.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 6.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 6.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 6.4.1.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 6.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Schritt 6.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Schritt 6.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 6.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 6.9

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Schritt 6.10

Ersetze alle $u$ durch $y^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)} + C$

Schritt 6.11

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.1

Multipliziere $- \frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.1.1

Stelle $\ln (| y^{2} + 1 |)$ und $\frac{3}{2}$ um.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))} + C$

Schritt 6.11.1.2

Vereinfache $\frac{3}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)$ , indem du $\frac{3}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Schritt 6.11.2

Vereinfache $- \ln ({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Schritt 6.11.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Schritt 6.11.4

Multipliziere die Exponenten in ${({| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Schritt 6.11.4.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.4.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Schritt 6.11.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Schritt 6.11.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = {| y^{2} + 1 |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.11.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(y^{2} + 1) d x - (1 + x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $y^{2} + 1$ mit $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(y^{2} + 1) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $y^{2} + 1$ mit $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.3

Subtrahiere den Exponenten des Nenners vom Exponenten des Zählers für die gleiche Basis

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3}{2} \cdot - 1} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{3 \cdot - 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

${(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{- 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y^{2} + 1)}^{1 - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{2 - 3}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.7

Subtrahiere $3$ von $2$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) d y = 0$

Schritt 7.10

Mutltipliziere $- (1 + x y)$ mit $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - (1 + x y) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + (- 1 - (x y)) \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.13

Mutltipliziere $- 1 - x y$ mit $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.14

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (x y)$ heraus.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$x \frac{d}{d y} [{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = y^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y^{2} + 1$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + \frac{d}{d y} [1]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x (- {({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.12

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y + 0))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.14

Addiere $2 y$ und $0$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.16

Kombiniere $2$ und $\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} (\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.17

Kombiniere $\frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $y$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.18

Bringe ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.19

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{2 y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.20

Forme den Ausdruck um.

$x (- {(y^{2} + 1)}^{- 1} \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.21

Kombiniere $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$x (- \frac{y {(y^{2} + 1)}^{- 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.22

Bringe ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.23

Multipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $y^{2} + 1$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.23.1

Mutltipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $y^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.23.1.1

Potenziere $y^{2} + 1$ mit $1$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.23.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.23.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.23.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.23.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x (- \frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.24

Kombiniere $x$ und $\frac{y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$- \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.1

Addiere $\frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x y + 1 + x y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x y + 1 + x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.3.1

Addiere $- x y$ und $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d y$

Schritt 14.4

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(y^{2} + 1)}^{3}}} d y$

Schritt 14.5

Sei $y = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d y = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 14.6

Vereinfache $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 14.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 14.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 14.6.3

Schreibe $\sec^{6} (t)$ als ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ um.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 14.6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 14.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.7.1

Faktorisiere $\sec^{2} (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 14.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 14.7.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = - \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Schritt 14.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.8.1

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$g (y) = - \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Schritt 14.8.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$g (y) = - \int 1 \cos (t) d t$

Schritt 14.8.3

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$g (y) = - \int \cos (t) d t$

Schritt 14.9

Das Integral von $\cos (t)$ nach $t$ ist $\sin (t)$ .

$g (y) = - (\sin (t) + C)$

Schritt 14.10

Vereinfache.

$g (y) = - \sin (t) + C$

Schritt 14.11

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (y)$ .

$g (y) = - \sin (\arctan (y)) + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$

Schritt 16

Vereinfache $f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \sin (\arctan (y)) + C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, y)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (y)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, y)$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arctan (y))$ $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Schritt 16.1.2

Mutltipliziere $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}) + C$

Schritt 16.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{\sqrt{1 + y^{2}} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Schritt 16.1.3.2

Potenziere $\sqrt{1 + y^{2}}$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} \sqrt{1 + y^{2}}} + C$

Schritt 16.1.3.3

Potenziere $\sqrt{1 + y^{2}}$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + y^{2}}}^{1}} + C$

Schritt 16.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Schritt 16.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}} + C$

Schritt 16.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{1 + y^{2}}}^{2}$ als $1 + y^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + y^{2}}$ als ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Schritt 16.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Schritt 16.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Schritt 16.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Schritt 16.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{{(1 + y^{2})}^{1}} + C$

Schritt 16.1.3.6.5

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} + C$

Schritt 16.2

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Schritt 16.3

Um $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} + C$

Schritt 16.4

Um $- \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{y^{2} + 1}{y^{2} + 1}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.2

Multipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $y^{2} + 1$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.5.2.1

Mutltipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit $y^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.5.2.1.1

Potenziere $y^{2} + 1$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.3

Mutltipliziere $\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{y^{2} + 1}$ mit $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(y^{2} + 1) {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.4

Multipliziere $y^{2} + 1$ mit ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.5.4.1

Mutltipliziere $y^{2} + 1$ mit ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.5.4.1.1

Potenziere $y^{2} + 1$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Schritt 16.5.4.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y \sqrt{1 + y^{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + y^{2}}$ als ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x \cdot 1 - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.4

Multipliziere $- y {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.1.4.1

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.4.2

Multipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.1.4.2.1

Bewege ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.4.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y {(y^{2} + 1)}^{1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.4.3

Vereinfache $- y {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y \cdot y^{2} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.6

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.1.6.1

Bewege $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.6.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.1.6.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - (y^{2} y^{1}) - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{2 + 1} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y \cdot 1}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} + x - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.8

Schreibe $x y^{2} + x - y^{3} - y$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.1.8.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.1.8.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x, y) = \frac{(x y^{2} + x) - y^{3} - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.8.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x, y) = \frac{x (y^{2} + 1) - y (y^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.1.8.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y^{2} + 1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{2} + 1) (x - y)}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 16.7.2

Bringe ${(y^{2} + 1)}^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- 1}} + C$

Schritt 16.7.3

Multipliziere ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ mit ${(y^{2} + 1)}^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Schritt 16.7.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Schritt 16.7.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Schritt 16.7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Schritt 16.7.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.7.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Schritt 16.7.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (x, y) = \frac{x - y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$