Analysis Beispiele

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x} y = 2$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x} y = 2$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2}{e^{x}}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $3 y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 3 y = \frac{2}{e^{x}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 3$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 3 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{3 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} \frac{2}{e^{x}}$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} \frac{2}{e^{x}}$

Schritt 3.3

Kombiniere $e^{3 x}$ und $\frac{2}{e^{x}}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{3 x} \cdot 2}{e^{x}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{3 x}$ und $e^{x}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{3 x} \cdot 2$ heraus.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x}}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x} \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{x} (e^{2 x} \cdot 2)}{e^{x} \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = \frac{e^{2 x} \cdot 2}{1}$

Schritt 3.4.2.4

Dividiere $e^{2 x} \cdot 2$ durch $1$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 \cdot e^{2 x}$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{2 x}$ um.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 e^{2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 e^{2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 e^{2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{3 x} y = \int 2 e^{2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 2 \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{3 x} y = 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 7.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 x} y = 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 7.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 x} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 7.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 x} y = 1 \int e^{u} d u$

Schritt 7.5.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$e^{3 x} y = \int e^{u} d u$

Schritt 7.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = e^{u} + C$

Schritt 7.7

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{3 x} y = e^{2 x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = e^{2 x} + C$ durch $e^{3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = e^{2 x} + C$ durch $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 x}$ und $e^{3 x}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $e^{2 x}$ heraus.

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{3 x} e^{- x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{3 x}}$