Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 4 \arctan (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $\frac{π}{2}$ für $y$ in $y = 4 \arctan (x) + K$ ersetzt wird.

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ um.

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$π + K = \frac{π}{2}$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = \frac{π}{2} - π$

Schritt 4.3.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $π$ .

$K = \frac{- π}{2}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$K = - \frac{π}{2}$

Schritt 5

Setze $- \frac{π}{2}$ für $K$ in $y = 4 \arctan (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{π}{2}$ .

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$