Analysis Beispiele

$3 x v d v + (2 v^{2} - 1) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(2 v^{2} - 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x v d v = - (2 v^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (3 x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ .

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x v$ heraus.

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x (v)) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x (2 v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 v^{2} - 1} v d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{3}{2 v^{2} - 1}$ und $v$ .

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (- (2 v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = - \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)} (2 v^{2} - 1) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 v^{2} - 1$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (2 v^{2} - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{x (2 v^{2} - 1)} (2 v^{2} - 1) d x$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $2 v^{2} - 1$ aus $x (2 v^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{(2 v^{2} - 1) x} (2 v^{2} - 1) d x$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{(2 v^{2} - 1) x} (2 v^{2} - 1) d x$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{3 v}{2 v^{2} - 1} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{v}{2 v^{2} - 1} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u = 2 v^{2} - 1$ . Dann ist $d u = 4 v d v$ , folglich $\frac{1}{4} d u = v d v$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u = 2 v^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $2 v^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d v} [2 v^{2} - 1]$

Schritt 4.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 v^{2} - 1$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [2 v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [2 v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 4.2.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d v} [2 v^{2}]$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $2 v^{2}$ nach $v$ gleich $2 \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d v} [v^{2}] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 v) + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 v + \frac{d}{d v} [- 1]$

Schritt 4.2.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$4 v + 0$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Addiere $4 v$ und $0$ .

$4 v$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$3 \int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.7

Vereinfache.

$\frac{3}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.8

Ersetze alle $u$ durch $2 v^{2} - 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |)) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 v^{2} - 1 |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kombinieren.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.4.2

Dividiere $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ durch $1$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |)) + \frac{4}{3} C$

Schritt 5.2.2.1.2

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4}{3} C$

Schritt 5.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $C$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ mit $3$ .

$\ln (| 2 v^{2} - 1 |) \cdot 3 = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ .

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 \ln (| x |)}{3}$ in den Zähler.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Schritt 5.3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Schritt 5.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache $3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1.1

Vereinfache $3 \ln (| 2 v^{2} - 1 |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Schritt 5.5.1.1.2

Vereinfache $4 \ln (| x |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Schritt 5.5.1.1.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Schritt 5.5.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3} x^{4}) = 4 C$

Schritt 5.5.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln ({| 2 v^{2} - 1 |}^{3} x^{4})$ um.

$\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) = 4 C$

Schritt 5.6

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3})} = e^{4 C}$

Schritt 5.7

Schreibe $\ln (x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}) = 4 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}$

Schritt 5.8

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ um.

$x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$

Schritt 5.8.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ durch $x^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = e^{4 C}$ durch $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Schritt 5.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 5.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} {| 2 v^{2} - 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Schritt 5.8.2.2.1.2

Dividiere ${| 2 v^{2} - 1 |}^{3}$ durch $1$ .

${| 2 v^{2} - 1 |}^{3} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Schritt 5.8.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$

Schritt 5.8.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$ .

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Schritt 5.8.4.1

Schreibe $\frac{e^{4 C}}{x^{4}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}$ um.

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Schritt 5.8.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $e^{4 C}$ heraus.

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{4}}}$

Schritt 5.8.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}}$

Schritt 5.8.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}$ um.

$| 2 v^{2} - 1 | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}}$

Schritt 5.8.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$

Schritt 5.8.4.3

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$ als $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$ um.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 5.8.4.4

Kombinieren.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Schritt 5.8.4.5

Mutltipliziere $\sqrt[3]{e^{4 C}}$ mit $1$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Schritt 5.8.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 5.8.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 5.8.4.7.2

Bewege $\sqrt[3]{x}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Schritt 5.8.4.7.3

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Schritt 5.8.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.8.4.7.5

Addiere $1$ und $2$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 5.8.4.7.6

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.8.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.8.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.8.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.8.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.8.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.8.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Schritt 5.8.4.7.6.5

Vereinfache.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Schritt 5.8.4.8

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.8.4.9

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 5.8.4.10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 5.8.4.11

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$ um.

$| 2 v^{2} - 1 | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Schritt 5.8.5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 v^{2} - 1 = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Schritt 5.8.6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$

Schritt 5.8.7

Teile jeden Ausdruck in $2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1$ durch $2$ .

$\frac{2 v^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.8.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.8.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 v^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.8.7.2.1.2

Dividiere $v^{2}$ durch $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.8.8

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.8.9

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.8.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}{2}}$

Schritt 5.8.9.2

Schreibe $\sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ um.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.8.9.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.8.9.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.9.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.8.9.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.8.9.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.8.9.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.8.9.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.8.9.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.8.9.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.8.9.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.8.9.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.8.9.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.8.9.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.8.9.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.8.9.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.8.9.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} + 1) \cdot 2}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} + 1) \cdot 2}}{2}$