Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 7 y + \ln (x) = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\ln (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + 7 y = - \ln (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 7$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 7 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{7 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{7 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{7 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (- \ln (x))$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (- \ln (x))$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = - e^{7 x} \ln (x)$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = - e^{7 x} \ln (x)$ um.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = - e^{7 x} \ln (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = - e^{7 x} \ln (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int - e^{7 x} \ln (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{7 x} y = \int - e^{7 x} \ln (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{7 x} y = - \int e^{7 x} \ln (x) d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{e^{7 x}}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $\frac{e^{7 x}}{7}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7 x} d x)$

Schritt 7.4

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int \frac{e^{7 x}}{x} d x))$

Schritt 7.5

Sei $u = 7 x$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.5.1

Es sei $u = 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.5.1.1

Differenziere $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 7.5.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7$

Schritt 7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{7}} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{u}{7}$ zu dividieren.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{7}{u} \frac{1}{7} d u)$

Schritt 7.6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{7}{u}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u} \cdot 7}{u} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Schritt 7.6.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{7} d u)$

Schritt 7.6.4

Mutltipliziere $\frac{7 e^{u}}{u}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{u \cdot 7} d u)$

Schritt 7.6.5

Bringe $7$ auf die linke Seite von $u$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{7 \cdot u} d u)$

Schritt 7.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 7.6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{7 e^{u}}{7 u} d u)$

Schritt 7.6.6.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Schritt 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ ist ein spezielles Integral. Das Integral ist die Integralexponentialfunktion.

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (E i (u) + C))$

Schritt 7.8

Schreibe $- (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (E i (u) + C))$ als $- (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i (u)}{7}) + C$ um.

$e^{7 x} y = - (\frac{1}{7} \ln (x) e^{7 x} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere $\frac{1}{7} (\ln (x) e^{7 x})$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x)}{7} e^{7 x} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

Schritt 8.1.1.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{7}$ und $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i (u)}{7}) + C$

$e^{7 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - \frac{E i u}{7}) + C$

Schritt 8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} - - \frac{E i u}{7} + C$

Schritt 8.1.3

Multipliziere $- - \frac{E i u}{7}$ .

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Schritt 8.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + 1 \frac{E i u}{7} + C$

Schritt 8.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{E i u}{7}$ mit $1$ .

$e^{7 x} y = - \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + \frac{E i u}{7} + C$

Schritt 8.1.4

Stelle die Faktoren in $- \frac{\ln (x) e^{7 x}}{7} + \frac{E i u}{7}$ um.

$e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$ durch $e^{7 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{7 x} y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} + \frac{E i u}{7} + C$ durch $e^{7 x}$ .

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{7 x}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{7 x}$ .

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Schritt 8.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{7 x} \ln (x)}{7}$ in den Zähler.

$y = \frac{- e^{7 x} \ln (x)}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.2.2

Faktorisiere $e^{7 x}$ aus $- e^{7 x} \ln (x)$ heraus.

$y = \frac{e^{7 x} (- 1 \ln (x))}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{7 x} (- 1 \ln (x))}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{7} + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.3

Schreibe $\frac{- 1 \ln (x)}{7}$ als $\frac{- 1}{7} \ln (x)$ um.

$y = \frac{- 1}{7} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.4

Vereinfache $\frac{- 1}{7} \ln (x)$ , indem du $- \frac{- 1}{7}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.6

Multipliziere $- - \frac{1}{7}$ .

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Schritt 8.2.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{7})}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{\frac{E i u}{7}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u}{7} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.8

Kombinieren.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u \cdot 1}{7 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Schritt 8.2.3.1.9

Mutltipliziere $E$ mit $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{7}}) + \frac{E i u}{7 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$