Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{9 x^{2} - 6}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (9 x^{2} - 6) x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(9 x^{2} - 6) x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} x^{- 2} - 6 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = \int 9 (x^{- 2} x^{2}) - 6 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int 9 x^{- 2 + 2} - 6 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.1.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$y + C_{1} = \int 9 x^{0} - 6 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache $9 x^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 9 - 6 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 9 d x + \int - 6 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} + \int - 6 x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} - 6 \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} - 6 (- x^{- 1} + C_{3})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = 9 x - 6 (- \frac{1}{x}) + C_{4}$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$y + C_{1} = 9 x + 6 \frac{1}{x} + C_{4}$

Schritt 2.3.8.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = 9 x + \frac{6}{x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 9 x + \frac{6}{x} + K$