Analysis Beispiele

$x + 1 \frac{d y}{d x} = y + 10$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 \frac{d y}{d x} - y = 10$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 \frac{d y}{d x} - y = 10 - x$

Schritt 1.1.3

Stelle die Terme um.

$1 \frac{d y}{d x} - y = - x + 10$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} - y = - x + 10$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 10$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 10$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + e^{- x} \cdot 10$

Schritt 3.3.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + 10 e^{- x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x + 10 e^{- x}$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x e^{- x} + 10 e^{- x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x e^{- x} + 10 e^{- x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x e^{- x} + 10 e^{- x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} + 10 e^{- x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- x} y = \int - x e^{- x} d x + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - \int x e^{- x} d x + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.6

Sei $u_{1} = - x$ . Dann ist $d u_{1} = - d x$ , folglich $- d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.6.1

Es sei $u_{1} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.6.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.8

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 10 e^{- x} d x$

Schritt 7.9

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 \int e^{- x} d x$

Schritt 7.10

Sei $u_{2} = - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.10.1

Es sei $u_{2} = - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.10.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.10.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 10 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - 10 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.13

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = - (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - 10 (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 7.14

Vereinfache.

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) - 10 e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) - 10 e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x e^{- x} - e^{- x}) - 10 e^{- x} + C$

Schritt 7.16

Vereinfache.

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Schritt 7.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} y = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Schritt 7.16.2

Multipliziere $- (- x e^{- x})$ .

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Schritt 7.16.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Schritt 7.16.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} - - e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Schritt 7.16.3

Multipliziere $- - e^{- x}$ .

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Schritt 7.16.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} + 1 e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Schritt 7.16.3.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} + e^{- x} - 10 e^{- x} + C$

Schritt 7.16.4

Subtrahiere $10 e^{- x}$ von $e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = x e^{- x} - 9 e^{- x} + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = x + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x + \frac{- 9 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$y = x - 9 + \frac{C}{e^{- x}}$