Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) + x \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\sin (x) + x \cos (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sin (x) + x \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sin (x) + x \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

Schritt 2.3.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \cos (x) + x \sin (x) + \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Addiere $- \cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) + 0 + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Addiere $x \sin (x)$ und $0$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x \sin (x) + K$