Analysis Beispiele

$\frac{d N}{d t} + N = N t e^{t}$ , $N (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $N$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d N}{d t} = N t e^{t} - N$

Schritt 1.2

Faktorisiere $N$ aus $N t e^{t} - N$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $N$ aus $N t e^{t}$ heraus.

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) - N$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $N$ aus $- N$ heraus.

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t}) + N \cdot - 1$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $N$ aus $N (t e^{t}) + N \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t} - 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $N$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t} - 1))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = t e^{t} - 1$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{N} d N = (t e^{t} - 1) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{N} d N = \int t e^{t} - 1 d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{N}$ nach $N$ ist $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} - 1 d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t} d t + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2}) - t + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t} - e^{t} - t + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\ln (| N |) + C_{1} = e^{t} t - t - e^{t} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$

Schritt 3

Löse nach $N$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $N$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| N |)} = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| N |) = e^{t} t - t - e^{t} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{e^{t} t - t - e^{t} + C} = | N |$

Schritt 3.3

Löse nach $N$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ um.

$| N | = e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$

Schritt 3.3.2

Stelle die Faktoren in $e^{e^{t} t - t - e^{t} + C}$ um.

$| N | = e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{t e^{t} - t - e^{t} + C}$ als $e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$ um.

$N = \pm e^{t e^{t} - t - e^{t}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ und $e^{C}$ um.

$N = \pm e^{C} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $1$ für $N$ in $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ ersetzt wird.

$1 = C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$ um.

$C e^{0 e^{0} + 0 - e^{0}} = 1$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C e^{0 \cdot 1 + 0 - e^{0}} = 1$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$C e^{0 + 0 - e^{0}} = 1$

Schritt 6.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C e^{0 + 0 - 1 \cdot 1} = 1$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$C e^{0 + 0 - 1} = 1$

Schritt 6.2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$C e^{0 - 1} = 1$

Schritt 6.2.6

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$C e^{- 1} = 1$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $C e^{- 1} = 1$ durch $e^{- 1}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $C e^{- 1} = 1$ durch $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Bringe $e^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Schritt 7

Setze $e$ für $C$ in $N = C e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $e$ .

$N = e e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $e$ mit $e^{t e^{t} - t - e^{t}}$ .

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Schritt 7.2.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$N = e^{1} e^{t e^{t} - t - e^{t}}$

Schritt 7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$N = e^{1 + t e^{t} - t - e^{t}}$