Analysis Beispiele

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y = \ln (t)$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(t + 1) y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t + 1$ und $g (t) = y$ .

$(t + 1) \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d t} [y]$ als $y'$ um.

$(t + 1) y' + y \frac{d}{d t} [t + 1]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t + 1) y' + y (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(t + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 1.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(t + 1) y' + y (1 + 0)$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $0$ .

$(t + 1) y' + y \cdot 1$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $1$ um.

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$(t + 1) \frac{d y}{d t} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [(t + 1) y] = \ln (t)$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [(t + 1) y] d t = \int \ln (t) d t$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(t + 1) y = \int \ln (t) d t$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (t)$ und $d v = 1$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{t}$ .

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(t + 1) y = \ln (t) t - \int d t$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$(t + 1) y = \ln (t) t - (t + C)$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ durch $t + 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(t + 1) y = \ln (t) t - t + C$ durch $t + 1$ .

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 1$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t + 1) y}{t + 1} = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} + \frac{- t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\ln (t) t}{t + 1} - \frac{t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Schritt 6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\ln (t) t - t}{t + 1} + \frac{C}{t + 1}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\ln (t) t - t + C}{t + 1}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $\ln (t) t - t + C$ um.

$y = \frac{t \ln (t) - t + C}{t + 1}$