Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x y = \int x^{- 2} d x$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$x y = - x^{- 1} + C$

Schritt 5.3

Schreibe $- x^{- 1} + C$ als $- \frac{1}{x} + C$ um.

$x y = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x y = - \frac{1}{x} + C$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = - \frac{1}{x} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$