Analysis Beispiele

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $y \cos^{3} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $\cos^{3} (x)$ um.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ durch $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{3} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{3} (x) y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.2.1

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.8

Faktorisiere $y$ aus $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 1.9

Stelle $y$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 2.2.1

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sin (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 3.2.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1

Stelle $\sin (x)$ und $\cot (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\sin (x) (\cot (x) y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 3.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 3.6

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.7

Stelle die Faktoren in $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) y = \tan (x) + C$ durch $\sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) y = \tan (x) + C$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Schreibe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.2.2

Separiere Brüche.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.2.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Schritt 8.3.2.4

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = \sec (x) + C \csc (x)$