Analysis Beispiele

$y d x + (2 x + y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 2$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Schritt 4.3.2

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Schritt 5.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | y | + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y d x + (2 x + y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y \cdot y d x + (2 x + y) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} d x + (2 x + y) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2 x + y$ mit $y$ .

$y^{2} d x + (2 x + y) y d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} d x + (2 x y + y \cdot y) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} d x + (2 x y + y^{2}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + y^{2}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Schritt 11.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y + y^{2}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y + y^{2}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + y^{2} - 2 x y$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x y + y^{2} - 2 x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $y^{2}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Schritt 13.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{y^{3}}{3} + C$